由于各种大神都在轻松地讨论分子对称性以及点群和晶体，我不自量力昨天中午去图书馆随便拿了一本群的书，看了一天半，用许哥的话：

“高烧的头脑又发热了一回”。

群的定义：在集合（有限或无限个元素）\(W=\{ A , B , C , \ldots \}\)中任意两个元素之间建立一种运算关系，通常称为“乘法”，将两个元素复合成为第三个元素：\(AB=D\)如果集合$W$在上述群运算下满足如下四个公理,则构成一个群.

1. 封闭律:$\forall A,B\in W$,有\(AB=C,C \in W\).
2. 存在单位元:$W$中存在元素$E$,满足$\forall A \in W$,有\(AE=EA=A\)
3. 存在逆元:$\forall A \in W$,均存在元素$B$,使得\(AB=BA=E\)
4. 结合律:$\forall A,B,C \in W$,群运算满足\((AB)C=A(BC)\)

群运算一般不满足交换律\(AB\neq BA\) 如果群运算满足\(\forall A,B\in W,AB=BA\)则该群称为阿贝尔群

群元素的个数称为群的阶.根据群的阶,可将群分为

如果群$G$的子集合$M$相对于群$G$的运算构成群,则称$M$为$G$的子群.所有群都有两个平庸子群,即群自身和单位元两个子集合.其他子群称为真子群. 判断子集合$M$是群$G$的子群的充要条件:\(\forall A,B \in M,\quad有\quad AB^{-1}\in M\)

设$G={g_1,g_2,\ldots ,g_n}$是一个群,$g$是群中一个元素,符号$gG$表示${gg_1,gg_2,\ldots ,gg_n}$.同理符号$Gg$表示${g_1g,g_2g,\ldots ,g_ng}$

群的重排定理$\qquad$设$g$是群$G$中任意确定元素,则\(gG=Gg=G\)

设群$H$是群$G$的子群,且元素$g\in G$,则集合$gH$称为元素$g$生成的子群H的左陪集,而集合$Hg$则称为元素$g$生成的子群$H$的右陪集.陪集的阶与子群$H$的阶相同,但一般来说\(gH\neq Hg\) 陪集定理$\qquad$同一子群的两个左(或右)陪集,或者元素完全相同,或者完全不同(交集为空集)

进一步有 拉格朗日定理$\qquad$群$G$必为子群$H$及其全部不相同的陪集的直和,即群$G$的阶$n$必为子群$H$的阶$k$的整数倍.

推论$\qquad$有素数阶的群只有平庸子群.

等价关系$\qquad$集合$W={ A , B , C , \ldots }$中,如果存在有两元素满足如下公设的关系$\sim$,则称它们之间有等价关系.

1. 自反性(反射性):$\quad A\sim A$
2. 对称性:$\quad 若A\sim B,则 B\sim A$
3. 传递性:$\quad 若A\sim B, B\sim C,则A\sim C$

集合中相互等价的元素可以归为一类,称为等价类.不同的等价类互不相交.集合可以分解为互不相交的等价类的并集.

共轭关系$\qquad$对于群$G={g_1,g_2,\dots }$以及元素$g_i,g_j$,若$\exists g \in G,满足g_j=g^{-1}g_ig,$$则称元素g_i,g_j共轭$.容易证明共轭关系是等价关系,因此可以对群进行共轭分类,即分解为共轭类的并集.

阿贝尔群元只与自身共轭,每个共轭类只有一个群元.

只有一个元素构成的共轭类,相应元素称为群的中心元素.单位元$E$自成一类.中心元素的集合称为群的中心.阿贝尔群的中心即为自身.

如果子群H包含群G的一个或多个完整共轭类,则称H为正规子群或不变子群.即\(\forall h_j\in H ,\forall X\in G\)都存在 \(h_i=X^{-1}h_jX,h_i\in H\) 正规子群的左右陪集相同,即$\forall g\in G$,有\(gH=Hg\)因此对于正规子集,可以不区分左右陪集.

任意群的群自身和单位元是两个平庸正规子群;阿贝尔群的任何子群都是正规子群.

陪集的乘积:两陪集的所有元素按顺序两两相乘,结果相同的合并,所得到的集合称为陪集的乘积. 商集:若$H$为$G$的正规子群,则H与其全部不相同的陪集,在陪集乘法的运算下,构成一个群,称为商群,记作$G/H$ 生成元:一个群的全部元素有可能通过群中的几个元素运算得到,能够生成全部元素的所需的最少群元的集合,称为该群的生成元.有限群或分立群的所有群元通过生成元有限次相乘即可得到,连续群一般要生成元无限次相乘才可得到全部群元.

参考:张端明《应用群论导引》

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