一根木根随机折成三截能拼成三角形的概率是多少？
不妨令棍长为$1$，随机截成的三段中有两段长度分别为$x，y$，则第三段$z=1-x-y$。这时$x，y$都是自由的随机变量，为了符合实际情况，要求满足：
\[\begin{cases} x\gt 0 \\ y\gt 0 \\ x+y\lt 1 \end{cases}\]这也是基本事件空间。 为了能够拼成三角形，三边长度要求满足：
\[\begin{cases} x+y\gt z \\ x+z\gt y \\ y+z\gt x \end{cases}\]解得：
\[\begin{cases} x\lt \frac 1 2 \\ y\lt \frac 1 2 \\ x+y\gt \frac 1 2 \end{cases}\]通过计算符合要求的区域面积与基本事件空间的面积，可以得到所求的概率是$\frac 1 4$。
问题似乎已经解决。。。但是有一个细节：人们折木棍时不可能一下折成三段，必须先折成两段，再选取其中一段再折成两段得到三段。上面情况其实是假设两个分点完全自由分布，如果是按照人的正常做法去计算概率，看起来两种方法是等价的，计算得到的概率会相同吗？
设先折下一段长度为$x$，那么第二次就是从剩下的$1-x$中折出长度为$y$和$z=1-x-y$的两段。 对于每一个确定的$x$，可以计算此时能够拼成三角形的概率，此时$y$是属于$(0,1-x)$的随机变量。
$(1)$若$x\ge \frac 1 2$，显然无论$y$取何值都不能拼成三角形。
$(2)$若$x\lt \frac 1 2$，由
\[\begin{cases} x+y\gt z \\ x+z\gt y \\ y+z\gt x \end{cases}\]解得：
\[\begin{cases} y\lt \frac 1 2 \\ x+y\gt \frac 1 2 \\ \end{cases}\]即 \(y \in (\frac 1 2 -x,\frac 1 2)\) 区间长度为$x$，而$y$是从$(0,1-x)$随机取值的变量，因此落在上述符合要求区间的概率是$\frac x {1-x}$。 综上，对于一个确定的$x$，能够拼成三角形的概率
\[p(x)= \begin{cases} \frac x {1-x},&0\lt x\lt \frac 1 2 \\ 0,&\frac 1 2\le x \lt 1 \end{cases}\]用$0\le x_0\lt x_1\lt\dots\lt x_n\le 1$将$(0,1)$分为$n$个长度为$\frac 1 n$的等长区间,z，在每一个区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一个点$\xi_i$，在$n$足够大时可以认为区间内每个点都有$p(x)=p(\xi_i)$，而$x$落在这个区间内的概率是$\frac 1 n$，根据全概率公式，所求的总概率 \(P=\lim \limits_{n \to \infty}\sum^n_{i=1}\frac 1 n p (\xi_i)\) 恰好是定积分的定义。由于$\frac 1 2\le x \lt 1$时$p(x)=0$，所以
\[\begin{align} P&=\int^{\frac 1 2}_0\frac x {1-x}\mathrm{d}x \\ &=-x-\ln(1-x) |^\frac 1 2_0 \\ &=-\frac 1 2-\ln\frac 1 2 \\ &=\ln 2 -\frac 1 2 \\ &=0.1931\dots \end{align}\]也就是说，如果先折成两段，再选取其中一段再折成两段得到三段，概率大约是$0.1931$。
综上所述，如果折之前先找到要折两个分点，那么概率是$\frac 1 4=0.25$；如果是两次随机折断，那么概率是$\ln 2 -\frac 1 2 =0.1931\dots$，比第一种小一些。两种方法并不是等价的。
感谢我的数学老师在课上提出的这个有趣的问题。
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