题目大意
本学期初的一节概率统计课上，老师提出了巴拿赫火柴盒问题（Banach’s matchbox problem - Wikipedia），一个经典的古典概率问题。
题目大意是，一个人有两个火柴盒（左右口袋各一个），每个火柴盒里面都有$N$根火柴，每次随机选择一个火柴盒，从里面取$1$根火柴。当某一次取火柴时，发现这个火柴盒是空的，求另一个火柴盒里还剩$k$根火柴的概率。
维基百科上的证明
不失一般性，我们假设右边口袋的火柴有无限多。设$M$是在左边口袋被发现是空的之前右边口袋取走的火柴的数量。当发现左边口袋为空时，我们已经选择了左边口袋$N+1$次。即相当于$p=1/2$的伯努利试验，记取左边口袋为成功，刚好在第$N+M+1$次试验是第$N+1$次成功的概率。于是
\[P[M=m]=\binom{N+m}{m}\bigg(\frac 1 2\bigg)^{N+m+1}\]回到原问题。我们可以看出先发现左边盒子为空的概率为$P[M\leq N]$，而由对称性这个概率显然为$1/2$。于是原问题另一个盒子剩$k$根火柴的概率为
\[P[K=k]=P[M=N-k|M\leq N]=2P[M=N-k]=\binom{2N-k}{N}\bigg(\frac 1 2\bigg)^{2N-k}\]问题
我之所以对这个问题感兴趣，是由于当时上课时瞬间想起了“派送食物问题”。这个“派送食物问题”看起来相当于确定了上面剩的火柴数$k=2$，直接代数就行，但这两个问题还有很大的区别。
考虑每个盒子$3$根火柴的情形。在取得过程中，在一个盒子$A$取了$3$根剩$0$根，另一个盒子$B$取了$0$根剩$3$根的情况下，在“派送食物问题”中一定是符合要求的情况了：最后两个一定在同一个盒子里。然而在巴拿赫火柴盒问题中，可能会在剩$3$根的火柴盒$B$中再取$0,1,2,3$根之后才能“发现”有一个火柴盒已经空了。即在巴拿赫火柴盒问题中$k=0,1,2,…,N$都可能符合“派送食物问题”的要求。
这基本上说明这两个问题没法统一起来了。还得用“派送食物问题”中的证明方法。